Metody numeryczne i probalistyczne: 3.2 Wartości i wektory własne macierzy

Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku

Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy $A$ . Tylko.
Obliczasz macierz ${{A}_{\lambda }}=A-\lambda I$ gdzie $\lambda$ to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a $I$ to macierz jednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera).
Liczysz wyznacznik macierzy ${{A}_{\lambda }}$ .
Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots$ .
Pierwiastki wstawiasz kolejno do równania: ${{A}_{\lambda }}X=0$ , gdzie $X$ jest niewiadomym wektorem (czyli macierzą jednokolumnową). Rozwiązujesz te równanie. Rozwiązaniem będzie pewien zbiór wektorów $X$ , z których każdy można nazwać wektorem własnym.

Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy $A=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ .

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według schematu wyżej.
1.
$A=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
2.
${{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right] -\lambda \cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3-\lambda & 2 \\ 4 & 1-\lambda \\ \end{matrix} \right]$
3.
$\left| \begin{matrix} 3-\lambda & 2 \\ 4 & 1-\lambda \\ \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5$
4.
${{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0$
$\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36$
${{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
${{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$
Wartości własne macierzy to: $-1$ i $5$ .
5.
Dla ${{\lambda }_{1}}=-1$ :
${{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix} 3-\left( -1 \right) & 2 \\ 4 & 1-\left( -1 \right) \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]X=0$
$\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$
Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
$\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.$
Czyli musi być spełniona zależność:
$4x+2y=0$
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par $x$ i $y$ , zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej ${{\lambda }_{1}}=-1$ jest nieskończenie wiele. Na przykład ustalając sobie $x=1$ otrzymam $4\cdot 1+2y=0$ , czyli $y=-2$ . Przykładowy wektor własny zatem to:
$\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]$
Ogólnie zaś wektory własne będą miały współrzędne:
$\left[ \begin{matrix} x \\ -2x \\ \end{matrix} \right]$
bo z zależności $4x+2y=0$ można wyliczyć, że $y=-2x$ .

Dla ${{\lambda }_{2}}=5$ :
${{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix} 3-5 & 2 \\ 4 & 1-5 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]X=0$
$\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$
Teraz (znowu mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
$\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.$
Układ jest – jak zawsze tutaj – nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), ale mam zależność:
$-2x+2y=0$
$x=y$
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par, w których $x=y$ , zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej ${{\lambda }_{2}}=5$ jest nieskończenie wiele i ogólnie mają równanie:
$\left[ \begin{matrix} x \\ x \\ \end{matrix} \right]$
Na przykład ustalając sobie $x=1$ otrzymam wektor własny:
$\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$

Metody numeryczne i probalistyczne

Strony

niedziela, 13 stycznia 2013

3.2 Wartości i wektory własne macierzy

Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku

Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz