1.3.2 Metoda trapezów

Załóżmy, że chcemy obliczyć całkę z funkcji f(x) w przedziale <x_p; x_k>. Definicja całki oznaczonej Riemana, mówi nam, że wartość całki równa jest sumie pól obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania. Sumę taką możemy obliczyć w przybliżeniu dzieląc obszar całkowania na n równych części. Dla każdej takiej części możemy wyznaczyć trapez, który w przybliżeniu będzie odpowiadał polu obszaru pod wykresem krzywej.


Jak już wspomnieliśmy przedział całkowania <x_p; x_k> podzielimy na n równych części. Szerokość każdej z nich wynosić będzie zatem:

Taka też będzie wysokość każdego z trapezów. Podstawy i-tego trapezu będą wynosić odpowiednio:

dla i = 1, 2, ..., n, gdzie x_i = x_p + i*dx.
Pole i-tego trapezu zgodnie ze wzorem wynosić będzie:

Całkę w zadanym przedziale uzyskamy dodając do siebie pola wszystkich wyznaczonych trapezów, wynosić będzie ona zatem:

 W praktyce w pętli dodajemy do siebie wszystkie wartości funkcji od 1 do n-1, a potem dwie wartości brzegowe podzielone przez dwa. Całość mnożymy przez dx i otrzymujemy w ten sposób wynik.

Takie postępowanie daje wyniki lepsze niż całkowanie metodą prostokątów, ale i tutaj otrzymany wynik nie będzie zawsze idealny - zakładamy przecież, że funkcja w obrębie przedziałów jest liniowa, co w ogólności nie musi być prawdą. Na schemacie powyżej widać, że metoda dość dobrze (ale nie idealnie) odwzorowywuje naszą przykładową funkcję w dwóch pierwszych przedziałach, natomiast w ostatnim przedziale widać wyraźnie różnicę pomiędzy polem pod wykresem a wyznaczonym trapezem. Warto zauważyć, iż im większa liczba przedziałów n z tym większą dokładnością wyznaczymy interesującą nas całkę.