1.7 Aproksymacja

Funkcja aproksymowana f(x) określona może być w różny sposób. W naszych rozważaniach będzie zadana w postaci zbioru dyskretnych wartości f₀=f(x₀), f₁=f(x₁), f₂=f(x₂),..., f_m=f(x_m), wyznaczonych odpowiednio w punktach x₀, x₁, x₂,..., x_m, zwanych węzłami aproksymacji. Dla ustalenia uwagi oznaczmy przez f^*(x) funkcję aproksymującą, która przybliża f(x), natomiast przez E(f)=f(x)-f^*(x) błąd takiego przybliżenia. W klasycznym przypadku zatem przez aproksymację rozumieć będziemy poszukiwanie, dla danej funkcji f(x), takiej funkcji f^*(x), aby przyjęta norma błędu ||E(f)|| była najmniejsza.

Do najczęściej stosowanych norm należą

norma średniokwadratowa

oraz norma maksymalna

Jak już wspomnieliśmy funkcję f^*(x) zapisujemy w postaci liniowej kombinacji n funkcji, które będziemy nazywać funkcjami bazowymi.

Zatem:

f^*(x)=c₀f₀(x)+c₁f₁(x)+ c₂f₂(x)+ ... +c_nf_n(x),                                                    (1)

gdzie f₀(x),f₁(x),f₂(x),...,f_n(x) są ustalonymi funkcjami bazowymi, c_0,c_1,c_2,...,c_n są poszukiwanymi współczynnikami.

Wielomian (1) nazywać będziemy wielomianem aproksymującym.

Jeżeli np. funkcje bazowe są w postaci jednomianów, tj. f_k(x)=x^k dla k=0,1,2,...,n, wtedy

f^*(x)=c₀+c₁x+c₂x²+...+c_nxⁿ.

W takim przypadku mówimy o aproksymacji za pomocą jednomianów. Natomiast jeśli wybrane funkcje bazowe należą do klasy funkcji trygonometrycznych postaci {sinkx, coskx} lub wykładniczych {e^kx}, k=0,1,...,n, to taką aproksymację nazywać będziemy odpowiednio  trygonometryczną lub wykładniczą. Zgodnie z powyższym, zagadnienie aproksymacji funkcji f(x) polega na zastąpieniu jej wielomianem aproksymującym f^*(x), rozumiane w sensie przyjętej normy ||E(f)||, było jak najmniejsze. Można to osiągnąć, jak się przekonamy, przez odpowiedni dobór w wyrażeniu (1)współczynników c_0,c_1,c_2,...,c_n..

Załóżmy, że chcemy określić wartości tych współczynników tak, aby spełniony był warunek

f^*(x_k)=f(x_k),                  dla k=0,1,2,...,m.                                                            (2)

Tzn. aby funkcje aproksymujące i aproksymowana miały te same wartości we wszystkich węzłach aproksymacji. Prowadzi to do układu m+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi
                               (3)

Zauważmy, że w tym przypadku nie nakładamy żadnych warunków na zachowanie się funkcji f^*(x) poza punktami x₀, x₁, x₂,..., x_m. W innym podejściu do rozwiązania zadania aproksymacji możemy zrezygnować z warunku (2), a w zamian za to żądać, aby funkcja f^*(x) w całym interesującym nas przedziale przebiegała jak "najbliżej" funkcji f(x). Takie sformułowania zadania przybliżenia funkcji prowadzą do różnych ( w zasadzie trzech) ich typów.

 

1. Przybliżenie interpolacyjne.


Jeżeli n=m, to układ (3) ma dokładnie jedno rozwiązanie, a współczynniki c₀, c₁, c₂,..., c_n mają takie wartości, aby w punktach x₀, x₁, x₂,..., x_m funkcja f(x) była zgodna z funkcją przybliżającą f^*(x), tzn. f(x_k)=f^*(x_k), k-0,1,2,...m. Przybliżenie takie nazywamy interpolacją natomiast punkty x₀, x₁, x₂,..., x_m  węzłami interpolacji. Jeśli m > n, to w ogólności nie jest spełniona równość (2), wtedy układ (3) ma więcej równań niż niewiadomych, o takim układzie mówimy, że jest nieokreślony. W tym przypadku trzeba zadowolić się rozwiązaniem przybliżonym.


2. Przybliżenie średniokwadratowe (aproksymacja średniokwadratowa).
   
   Wyrażeniem, którego minimum szukamy jest całka z kwadratu różnicy liczonej między f(x) i jej przybliżeniem f^*(x) w zadanym przedziale [a,b] lub sumą kwadratów takich różnic wyznaczoną w dyskretnych punktach x₀, x₁, x₂,..., x_m.
   
   
3. Przybliżenie jednostajne (aproksymacja jednostajna)
   
   Poszukujemy minimum wyrażenia będącego maksymalną różnicą między f(x) a f^*(x) w przedziale [a,b] lub w dyskretnych punktach x₀, x₁, x₂,..., x_m.

Poniższy rysunek jest ilustracją idei zadania aproksymacji.

Zauważmy, że postawienie i rozwiązanie powyższych zagadnień ma na celu uzyskanie pewnej informacji o funkcji, np. wyznaczenie jej wartości w danym punkcie xąx_k, k=0,1,2,...m.

Weźmy pod uwagę przybliżenie (1.) . Jeżeli punkt x leży wewnątrz zadanego przedziału [a,b], to mówimy o interpolacji. Jeżeli natomiast punkt leży na zewnątrz tego przedziału, to mamy do czynienia z ekstrapolacją. Zwykle błąd interpolacji jest mniejszy niż błąd ekstrapolacji.

Poniższy rysunek przedstawia zakres formułowania tych zadań.