Metody numeryczne i probalistyczne: 2.3.7 Mediana

niedziela, 13 stycznia 2013

2.3.7 Mediana

Jeśli spróbujemy znaleźć wartość cechy najbardziej 'przeciętnej’, konkretnie – wartość środkowego elementu, będziemy szukać właśnie mediany.

Gdy dane zawierają jedynie wartości, medianą jest środkowy element w ciągu, uporządkowanym niemalejąco (1 3 5...), lub średnia dwóch środkowych elementów w ciągu:

$Me = x_{(n+1)/2}\quad -$ dla nieparzystego n

lub

$Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2} \quad -$ dla parzystego n

Zamiast wzorów wystarczy zapamiętać "medianą jest środkowa wartość w ciągu (uporządkowanym niemalejącym)", a jeśli n jest parzyste: "medianą jest średnia dwóch środkowych w ciągu".

Pozostaje znaleźć w ciągu medianę - jako wartość na pozycji Me.

Jeśli dane zawierają wartości wraz z ich liczebnością – postępujemy podobnie, jednak uwzględniamy w ciągu liczebność wyników (np. 1 3 5 5 7 7 7).

W przypadku szeregu rozdzielczego:

1. oblicza się dla kolejnych klas liczebność skumulowaną $f_i$ (jest to suma liczebności od 1. do i-tej klasy),

2. określa się pozycję mediany wg wzoru (zmienionego): $P_{Me} = \tfrac{n}{2}$ oraz okreśa, w której klasie ta pozycja się znajduje,

3. szacuje się medianę wg wzoru

$Me \approx x_{Me}+ \frac{\tfrac{n}{2} - f_{(Me-1)}}{n_{Me}} L$

$x_{Me}\,$ – lewy koniec tej klasy, do której należy mediana

$f_{(Me-1)}\,$ - liczebność skumulowana klasy poprzedzającej klasę z medianą

$n_{Me}\,$ –liczebność klasy ‘z medianą’

$L\,$ –długość klasy ‘z medianą’

Alternatywą jest użycie wzoru

$Me \approx y_{Me} - \frac{\tfrac{n}{2} - (f-f_{Me})}{n_{Me}} L$

$y_{Me}\,$ – analogicznie, prawy koniec klasy

$f_{Me},\,f$ – liczebność skumulowana klasy 'z medianą' oraz klasy ostatniej (tzn. f = n)

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)