1.3.3 Metoda Simpsona

Załóżmy, że chcemy obliczyć całkę z funkcji f(x) w przedziale <x_p; x_k>. Definicja całki oznaczonej Riemana, mówi nam, że wartość całki równa jest sumie pól obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania. Sumę taką możemy obliczyć w przybliżeniu dzieląc obszar całkowania na n równych części. W metodach prostokątów i trapezów zakładaliśmy, że przybliżenie funkcji w przedziale jest funkcją liniową (przybliżenie odwzorowywało funkcję na odcinek w obrębie przedziału). W metodzie Simpsona w każdym takim przedziale będziemy przybliżać funkcję dla, której obliczamy całkę przy pomocy paraboli.



Jak już wspomnieliśmy przedział całkowania <x_p; x_k> podzielimy na n równych części. Szerokość każdej z nich wynosić będzie zatem:

 Na końcach każdego przedziału funkcja będzie przyjmowała wartości f( x_i-1 ) oraz f( x_i ) dla i = 1, 2, ..., n, gdzie x_i = x_p + i*dx.
W każdym przedziale <x_i-1; x_i> funkcję f(x) będziemy przybliżać przy pomocy paraboli g(x) = a_ix² + b_ix + c_i
By jednoznacznie określić parabolę, potrzebujemy danych trzech punktów, przez które ma ona przechodzić. Dla każdego przedziału mamy dane już dwa (na końcu i początku przedziału), brakuje nam zatem jeszcze jednego. Dlatego teżdla każdego takiego przedziału wprowadzimy punkt środkowy t_i = (x_i-1 + x_i) / 2

Pole pod parabolą obliczmy z definicji całki Newtona-Leibniza, która mówi, że całka oznaczona z funkcji w przedziale zamkniętym określona jest jako różnica wartości funkcji pierwotnej na końcu tego przedziału i wartości funkcji pierwotnej na początku tego przedziału. Funkcja pierwotna dla funkcji f(x), to taka funkcja F(x), że jej pochodna równa jest funkcji f(x), czyli F'(x) = f(x). Zatem Stosując podane twierdzenie do naszego przybliżenia g(x) otrzymamy: