3.1 Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań
$\left\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right.$,
gdzie a₁, a₂, b₁, b₂ c₁, c₂ są dowolnymi liczbami przy czym a₁ i a₂ oraz b₁ i b₂ nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:
- mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony),
- mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony),
- nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych.
Dla układu oznaczonego rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia prostych o podanych równaniach,
Dla układu nieoznaczonego proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (proste te się pokrywają)
Dla układu sprzecznego proste nie mają punktów wspólnych (są równoległe i rozłączne).

Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Niech będzie dany układ równań $\left\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right.$

Metoda podstawiania

Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

Metoda graficzna

Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzednych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzednych punktów wspólnych dla obu prostych.
Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania, jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.

Metoda wyznaczników

Metoda wyznaczników polega na wyznaczeniu tzw. wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzeniu analizy rozwiązań układu równań.

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy przez W.
$W=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1·b_2-b_1·a_2$
W podobny sposób wyliczamy wyznaczniki pomocnicze W_x i W_y, w których kolumnę współczynników przy niewiadomych zastępujemy odpowiednio przez kolumnę wyrazów wolnych:
$W_x=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|=c_1·b_2-b_1·c_2$
$W_y=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|=a_1·c_2-c_1·a_2$
Analiza otrzymanych rozwiązań:

Jeżeli W ≠ 0, to układ równań jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:
$x=\frac{W_x}{W}$     $y=\frac{W_y}{W}$.

Jeżeli W = 0 oraz W_x ≠ 0 lub W_y ≠ 0, to układ równań jest sprzeczny.

Jeżeli W = 0 i W_x = 0 i W_y = 0, to układ równań jest nieoznaczony.