2.3.5 Graficzne przedstawienie próbki: prawdopodobieństwo skumulowane, wykres ramkowy

Zakładamy, że prawdopodobieństwo uzyskani każdego elementu próbki n elementowej jest równe 1/n. Uporządkujmy próbkę według wartości rosnących. Prawdopodobieństwem skumulowanym (dystrybuantą empiryczną) p(x) dla danego x nazywamy prawdopodobieństwo otrzymania wartości mniejszej lub równej x: p(x)=p(x_i£x) w próbce uporządkowanej.

Jednym z wielu sposobów graficznej prezentacji próbki jest wykres ramkowy, potocznie nazywany  ‘pudełkiem z wąsami’ (ang. box-and-whisker plot), zaproponowany w 1977 roku przez J.Tukey’a. Rysujemy najpierw prostokąt, którego dolny bok jest kwartylem dolnym, a górny bok kwartylem górnym. Pozioma linia dzieląca prostokąt to mediana. Wąsy powstają z połączenia powstałego pudełka z krótkimi liniami poziomymi, narysowanymi dla kwantyla q=0.95 (górny wąs) i kwantyla 0.05 (wąs dolny). Na rysunku zaznaczyć można także inne wartości kwantyli (np. 0.01 i 0.99), jak i inne statystyki próbki, np. wartość średnią, ekstremalne wartości w próbce, itp.

PRZYKŁAD: Próbka 40. elementowa – utworzona za pomocą  generatora liczb losowych, z rozkładu lognormalnego LND(4, 0.4)  (Program MATHEMATICA) 

48.4478  69.2368  21.6994  29.3819  65.3572

45.7823  55.4199  42.1859  47.8664  55.7535

87.1514  49.3306  37.5616  56.4771  26.8422

74.2661  51.3336  77.8302  40.1117  41.5877

55.8195  35.9834  67.6347  82.9544  42.1217

61.1744  35.7469  43.1695  48.9212  52.3768

63.7887  39.5142  153.613  98.6516  86.1010

30.4353  34.3459  39.4973  21.1369  91.6702

n=40, x_min=21.1369, x_max=153.613, R=132.476

Rys. 1. Histogram próbki. Zaznaczono granice klas (na osi x) i ilość elementów w klasie (na osi y)

 

Statystyki lokacji rozkładu:

średnia arytmetyczna                         =55.2071

średnia geometryczna                        =50.5966

średnia harmoniczna                          =46.5614

mediana                                             m_e=49.1259

moda                                                  brak

Statystyki rozproszenia:

wariancja                                            s²=615.69

odchylenie standardowe                    s=24.8131

odchylenie przeciętne od               d₁=18.2191

odchylenie przeciętne od m_e              d₂=12.5955

Statystyki kształtu:

            moment centralny l=3                                    M₃=25213

            moment centralny l=4                                    M₄=2.67679×10⁶

                współczynnik asymetrii                     g₁=1.65037

            kurtoza                                               K=7.06139

            eksces                                                 g₂=4.06139

            współczynnik zmienności                  n=44.94 %                                                    

            współczynnik nierównomierności      H=33.00 %

  

 Rys. 2. Wykres skumulowanego prawdopodobieństwa p_i (x_i) [wyrażonego w %] tego, że znajdziemy w próbce wartość £x_i

             

Kwantyle:

kwantyl rzędu 0.01                21.1369

            kwantyl rzędu 0.05                21.6994

            kwantyl rzędu 0.25                39.4973

            kwantyl rzędu 0.50                48.9213

            kwantyl rzędu 0.75                65.3572

            kwantyl rzędu 0.95                91.6703                     

            kwantyl rzędu 0.99                153.614

Rys. 3. Wykres ramkowy: wartość średnia (kółko z poziomą kreską), wartości ekstremalne (poziome kreski),  kwartyle (pudełko), kwantyle 0.05 i 0.95 (wąsy), kwantyle 0.01 i 0.99 (krzyżyki)