2.1 Rachunek prawdopodobieństwa.

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia pewnego określonego zdarzenia.
Przykładowo: jaka jest szansa, że dzisiaj jest niedziela? Mamy 7 możliwości (bo jest 7 dni tygodnia).
Niedziela to jedna z 7 możliwości, zatem jej prawdopodobieństwo wynosi: .
Rachunek prawdopodobieństwa bazuje na kombinatoryce.
Aby obliczyć szansę dowolnego zdarzenia (nazwijmy go literką A), musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających oraz ile liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Do tego momentu stosujemy jedynie kombinatorykę. Następnie do obliczenia prawdopodobieństwa korzystamy z jednego wzoru: . gdzie:
- liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru A)
- liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru Ω)
Pojęcia stosowane w rachunku prawdopodobieństwa:

• Doświadczenie losowe - czynność którą wykonujemy, np.: rzut kostką, wybór dnia tygodnia.
• Zdarzenie elementarne - zdarzenie (tylko 1) jakie może wydarzyć się w doświadczeniu losowym, np.: wypadło 5 oczek, wybrano środę.
• Zdarzenie losowe - zbiór jednego lub kilku zdarzeń elementarnych, np.: wypadła parzysta liczba oczek (2, 4, lub 6), wybrano dzień powszedni.
• Moc zbioru - liczba elementów danego zbioru, np.: |{2, 4, 6}| = 3, |{dnie powszednie}| = 5.

Stosowane oznaczenia:

• Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• A - zdarzenie losowe (podzbiór Ω), np.: Jeżeli A - zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek, to: A = {2, 4, 6}.

Na poniższym przykładzie omówię zdefiniowane powyżej pojęcia i oznaczenia.
Przykład. Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba oczek mniejsza od 5.
Rozwiązanie

Zdarzeniem losowym w tym zadaniu jest rzut kostką.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
Ω - zbiór wszystkich możliwych wyników. Zatem Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A - wypadła liczba oczek mniejsza od 5. Zatem A = {1, 2, 3, 4}.
Zdarzenie A jest oczywiście naszym zdarzeniem losowym.
Obliczmy teraz moc zbioru A oraz zbioru Ω:

|A| = 4 (bo w skład zbioru A wchodzą 4 zdarzenia elementarne)
|Ω| = 6 (bo tyle jest wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników rzutu kostką)

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest następujące: .

Co warto pamiętać?

Do rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa nie trzeba znać pojęć typu: zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, itp.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia, należy wyznaczyć liczbę zdarzeń sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń, a następnie podzielić mniejszą wartość przez większą.

Wzory i własności prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa:

• Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A jest zawsze liczbą z przedziału ⟨0; 1⟩.
• Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1.
• Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0.

Przydatne wzory:

• Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
• Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń