1.6 Interpolacja

Najogólniej rzecz biorąc, interpolacja polega na przybliżaniu funkcji. Aby jednak dokładnie zrozumieć czym jest, a czym nie jest interpolacja, należy powiedzieć kilka słów więcej. Owszem, ona przybliża funkcję - jednak robi to w szczególny sposób - zachowuje bowiem równość wartości w wybranych punktach (zwanych węzłami) pomiędzy funkcją którą chcemy przybliżyć (interpolowaną), a funkcją przybliżającą (interpolującą) : ,      
Zazwyczaj zależy nam dodatkowo, aby w punktach które nie są węzłami przybliżenie było również jak najlepsze. Jako funkcje interpolujące najczęściej wykorzystuje się wielomiany algebraiczne, trygonometryczne lub funkcje wymierne.

Zastosowanie interpolacji

Interpolacja zdecydowanie nie należy do tej części matematyki z którą spotykamy się na co dzień, jednak dla każdego matematyka (a także ludzi innych zawodów) stanowi ona nieocenione narzędzie. Oto najpopularniejsze zastosowania interpolacji:

• zastępowanie skomplikowanego wzoru funkcji prostszym (np. wielomianem)
• obliczanie wartości stablicowanej funkcji w punkcie różnym od danych (szczególnie przydatne w przypadku tablic matematycznych, pozwala to także na zmniejszenie rozmiaru tablic)
• rozwiązywanie równań (interpolacja odwrotna)
• wiele innych metod numerycznych opiera się na metodach interpolacyjnych, np. różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Zbieżność interpolacji, wybór węzłów interpolacji

Na pewno każdy, kto zmierzył się już raz z zagadnieniem interpolacji w praktyce, zadał sobie następujące pytanie: czy ilość węzłów ma wpływ na jakość przybliżenia funkcji interpolującej? Odpowiedz jest szczególnie istotna w przypadku gdy węzły oraz wartości w węzłach zdobywamy na drodze eksperymentu, gdyż wiemy, czy warto dokonać większej liczby pomiarów. W przypadku gdy mamy już wszystkie niezbędne dane, możemy zadecydować jak wiele z nich należy użyć.
Okazuje się, że w przypadku węzłów równoodległych, wraz ze wzrostem liczby węzłów, pojawia się zjawisko Rungego - na obrzeżach przedziału w którym przeprowadzamy interpolację pojawiają się znaczne różnice pomiędzy wartością wielomianu interpolacyjnego, a wartością żądaną. W przypadku węzłów dowolnych natomiast, funkcja Lagrange'a jest jednostajnie zbieżna. Błędne przybliżenia pojawiają się również podczas interpolacji funkcji, której wykres znacznie się różni od wykresu wielomianu interpolacyjnego.
Aby zminimalizować błąd interpolacji najlepiej jako węzły przyjąć węzły Czebyszewa:
,       W przedziale <a, b> wartości węzłów Czebyszewa uzyskujemy dzięki następującemu przekształceniu:
,