1.7.3 aproksymacja trygonometryczna

Aproksymacja trygonometryczna jest stosowana gdy funkcja aproksymowana jest funkcją okresową a punkty pochodzące z obserwacji danego zjawiska są równoodległe. Dany jest ciąg n liczb

y₁, y₂, ... , y_n ( 1 )

Funkcja aproksymująca ma postać:

( 2 )

gdzie:
n - liczba punktów
m - stopień wielomianu trygonometrycznego, parametr m musi spełniaś warunek:

n > 2m + 1 ( 3 )

Im większy jest stopień wielomianu trygonometrycznego m tym przybliżenie ciągu ( 1 ) za pomocą wielomianu będzie dokładniejsze.

Zagadnienie aproksymacji sprowadza się do obliczenia wartości współczyników a₀ oraz a_i, b_i (i = 1, 2, ... , m ). Współczyniki te wyznacza się ze wzorów Eulera-Furiera.

Gdzie y_j (j = 1, 2, ... , n) są elementami ciągu ( 1 ).

ALGORYTM OBLICZENIOWY

Dane:
              ciąg n liczb        y₁, y₂, ... , y_n

Krok 1:

Wybrać możliwie największy stopień wielomianu trygonometrycznego m na podstawie wzorów z wykładu.

Krok 2:

Po wyznaczeniu m należy oszacować współczyniki a0 oraz< ai, bi (i = 1, 2, ... , m) , wyznacza się je przy pomocy wzorów Eulera-Fouriera. Zauważmy, że współczynik a0 jest średnią arytmetyczną ciągu: y1, y2, ... , yn , a każdy ze współczyników ai, bi (i = 1, 2, ... , m) , jest podwójną średnią arytmetyczną ciągu odpowiednio:      ( j = 1 , 2 , ... , n ) oraz      ( j = 1 , 2 , ... , n ) Algorytm jest więc prosty i polega na wyznaczeniu dla każdego współczynika wartości odpowiedniego wyrażenia będącedo funkcją elementów siągu y1, y2, ... , yn

PRZYKŁAD OBLICZENIOWY

Dany jest ciąg n liczb

0.1 , 0.4 , 0.8 , 0.9 , 1.4 , 2.1 , 2.0 , 1.8 , 1.2 , 0.8 , 0.4 , 0 , -0.3 , -0.9 , -1.5 , -2.5 , -3.1 , -3.9 , -2.9 , -2.1 , -1.5 , -0.8 , -0.1 , 0.4 , 0.9

Przykład dotyczy zagadnienia aproksymacji trygonometrycznej, w której funkcja aproksymująca ma postać

gdzie :
n = 25 - liczba obserwacji w ciągu
Wyznaczamy stopień wielomianu trygonometrycznego; (parametr m)

Następnie wyznaczamy współczynniki a₀, a_i, b_i (i = 1, 2, ... , m ). na podstawie wzorów z powyższego wykładu. Wyniki zostały zamieszczone w poniższej tabeli.

Współczynniki Eulere-Fouriera

i	a(i)	b(i)
1	0.3301	2.1244
2	0.4065	-0.4803
3	-0.0437	-0.4868
4	0.0617	0.1119
5	0.1004	0.0018
6	0.0176	-0.1333
7	-0.0079	-0.0819
8	0.0587	0.0128
9	0.1203	0.0016
10	0.0556	-0.0199
11	-0.0296	-0.0054

a₀ = -0.256