1.6.8 Funkcje sklejane

Jak widzieliśmy, stosowanie wielomianów do przybliżania różnych skomplikowanych funkcji ma swoje ograniczenia. Możliwe jest jednak inne podejście: rozpatrzmy dwa sąsiadujące punkty danych. Przez każde dwa punkty możemy przeprowadzić prostą otrzymując linię łamaną przechodzącą przez wszystkie nasze punkty. Taka łamana linia jest często stosowanym zgrubnym przybliżeniem złożonych krzywych. Krok dalej stanowi dopasowanie wielomianów wyższego stopnia do kolejnych sąsiednich punktów w taki sposób, aby wypadkowa funkcja przechodziła przez wszystkie punkty, była ciągła oraz miała ciągłą pochodną (lub też ciągłe pochodne do stopnia n−1 w przypadku użycia wielomianu stopnia n) w miejscach styku. W ogólności krzywą taką, powstałą z odcinków wielomianów, nazywamy funkcją sklejaną (ang. spline).

Najbardziej popularne są funkcje sklejane stopnia 3 (ang. cubic splines). W tym przypadku do każdej pary sąsiednich punktów danych dopasowujemy funkcję postaci ax³+bx²+cx+d. Dla wszystkich dopasowywanych funkcji musimy spełnić warunek ciągłości samej funkcji, jej pierwszej i drugiej (n=3, n−1=2) pochodnej. Przy n+1 punktach danych wyznaczamy n różnych funkcji (n przedziałów) czyli 4n współczynników. Ze wszystkich warunków ciągłości na styku przedziałów dostaniemy 3(n−1) równań. Ponieważ mamy też wartości samej funkcji w n+1 punktach (zwanych węzłami, ang. knots), w sumie mamy 4n−2 równań na 4n niewiadomych.
Pozostałe dwa równania musimy określić wybierając warunki brzegowe. Mamy tu kilka typowych możliwości:

• Możemy przyjąć, że druga pochodna naszej funkcji w punktach brzegowych jest równa zero (dwa równania). Otrzymujemy w ten sposób tzw. naturalne funkcje sklejane (ang. natural spline). Czasem nazywa się taki wybór dopasowaniem z końcami swobodnymi.
• Możemy założyć, że funkcja jest okresowa, a nasz zestaw węzłów obejmuje jeden okres. Wtedy zakładamy, że pierwsza i druga pochodna (dwa równania) są sobie równe na obu końcach przedziału (czyli dla x₁ i x_n+1).
• Możemy wybrać sobie wartości pierwszej pochodnej na obu końcach przedziału (dwa równania). Wybór taki nazywa się dopasowaniem z końcami usztywnionymi. Funkcja poza zakresem dopasowania ma postać linii prostych o zadanych nachyleniach.

Rysunki poniżej przedstawiają dopasowanie wielomianu stopnia 6 oraz funkcji sklejanej stopnia 3 do funkcji logarytmicznej w zakresie 0,5-100 w kilkudziesięciu punktach. Funkcja sklejana „optycznie” znacznie lepiej dopasowuje badaną krzywą, nawet w części ekstrapolacyjnej, poza zakresem posiadanych punktów.