1.6.6 Interpolacja Padé

Interpolacja Padé jest odpowiednikiem interpolacji Taylora, zatem również zachowuje ona równość kolejnych pochodnych. W tym przypadku jednak funkcją interpolującą jest funkcja wymierna postaci:


Zbiór takich funkcji oznaczamy , gdzie p oznacza stopień licznika, q stopień mianownika i , . Gdy , to otrzymujemy wielomian interpolacyjny Taylora. Aby wyznaczyć

współczynniki funkcji należy rozwiązań poniższy układ równań:



.........................................


gdzie występuje po prawej stronie p razy, a współczynniki , , ..., należą do rozwinięcia Maclaurina funkcji interpolowanej:


Przykład:
Podobnie jak poprzednio, tym razem również przeprowadźmy interpolację funkcji dla . Wyprowadźmy funkcje , , .
,
,
.



Podczas obliczeń, założyliśmy, że , a następnie wszystkie współczynniki zostały tak przemnożone, aby uzyskać współczynniki całkowite. Oto wykresy uzyskanych funkcji.
Jak widać, w otoczeniu punktu , funkcje interpolacyjne bardzo dobrze przybliżają funkcję . Porównajmy zatem różnice pomiędzy wymiernymi funkcjami interpolacyjnymi Padé, a wielomianami interpolacyjnymi Taylora.

Na rysunku zostały przedstawione wykresy następujących funkcji:

- kolor czarny - interpolacja Taylora, n=1

- kolor bordowy - interpolacja Taylora, n=3

- kolor granatowy - interpolacja Taylora, n=5

- kolor niebieski - interpolacja Padé,

- kolor czerwony - interpolacja Padé,

- kolor zielony - interpolacja Padé,

Z przedstawionego porównania wynika, że w tym wypadku dla wartości większych od zera interpolacja Padé oraz interpolacja Taylora dają przybliżone wyniki, jednak poniżej zera, interpolacja Padé jest znacznie bardziej skuteczna, szczególnie gdy licznik wraz z mianownikiem mają ten sam stopień. Gdy stopień licznika jest niższy niż mianownika, powstaje asymptota co w jej otoczeniu znacząco pogarsza jakość przybliżenia.

Zalety:	Wady:
-   Duża dokładność przybliżenia w otoczeniu punktu x0	-   Przybliża wartości interpolowanej funkcji jedynie w otoczeniu punktu x0