Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku
- Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy
. Tylko.
- Obliczasz macierz
gdzie
to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a
to macierz jednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera).
- Liczysz wyznacznik macierzy
.
- Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je
.
- Pierwiastki wstawiasz kolejno do równania:
, gdzie
jest niewiadomym wektorem (czyli macierzą jednokolumnową). Rozwiązujesz te równanie. Rozwiązaniem będzie pewien zbiór wektorów
Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)
Oblicz wektory i wartości własne macierzyZadanie rozwiązuję krok po kroku według schematu wyżej..
1.
2.
![{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right] -\lambda \cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3-\lambda & 2 \\ 4 & 1-\lambda \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7BA%7D_%7B%5Clambda+%7D%7D%3D+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++3+%26+2+%5C%5C++4+%26+1+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D++-%5Clambda+%5Ccdot++%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++1+%26+0+%5C%5C++0+%26+1+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D+%3D+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++3+%26+2+%5C%5C++4+%26+1+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D-%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++%5Clambda+%26+0+%5C%5C++0+%26+%5Clambda+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D+%3D+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++3-%5Clambda+%26+2+%5C%5C++4+%26+1-%5Clambda+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right] -\lambda \cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3-\lambda & 2 \\ 4 & 1-\lambda \\ \end{matrix} \right]")
3.
4.
Wartości własne macierzy to:
i 
.5.
Dla
:![{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix} 3-\left( -1 \right) & 2 \\ 4 & 1-\left( -1 \right) \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7BA%7D_%7B%7B%7B%5Clambda+%7D_%7B1%7D%7D%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++3-%5Cleft%28+-1+%5Cright%29+%26+2+%5C%5C++4+%26+1-%5Cleft%28+-1+%5Cright%29+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++4+%26+2+%5C%5C++4+%26+2+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix} 3-\left( -1 \right) & 2 \\ 4 & 1-\left( -1 \right) \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]")
![\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]X=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++4+%26+2+%5C%5C++4+%26+2+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5DX%3D0&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]X=0")
![\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++4+%26+2+%5C%5C++4+%26+2+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++x+%5C%5C++y+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++0+%5C%5C++0+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]")
Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
Czyli musi być spełniona zależność:
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par
i 
, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej jest nieskończenie wiele. Na przykład ustalając sobie 
otrzymam 
, czyli 
. Przykładowy wektor własny zatem to:![\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++1+%5C%5C++-2+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]")
Ogólnie zaś wektory własne będą miały współrzędne:
![\left[ \begin{matrix} x \\ -2x \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++x+%5C%5C++-2x+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} x \\ -2x \\ \end{matrix} \right]")
bo z zależności
można wyliczyć, że 
.Dla
:![{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix} 3-5 & 2 \\ 4 & 1-5 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7BA%7D_%7B%7B%7B%5Clambda+%7D_%7B2%7D%7D%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++3-5+%26+2+%5C%5C++4+%26+1-5+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++-2+%26+2+%5C%5C++4+%26+-4+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix} 3-5 & 2 \\ 4 & 1-5 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]")
![\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]X=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++-2+%26+2+%5C%5C++4+%26+-4+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5DX%3D0&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]X=0")
![\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++-2+%26+2+%5C%5C++4+%26+-4+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++x+%5C%5C++y+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++0+%5C%5C++0+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]")
Teraz (znowu mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
Układ jest – jak zawsze tutaj – nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), ale mam zależność:
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par, w których
, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej jest nieskończenie wiele i ogólnie mają równanie:![\left[ \begin{matrix} x \\ x \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++x+%5C%5C++x+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} x \\ x \\ \end{matrix} \right]")
Na przykład ustalając sobie
otrzymam wektor własny:![\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++1+%5C%5C++1+%5C%5C++%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]")
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz