1.4.1 Metoda Gaussa-Seidela

Jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax = b. Wektor x⁰ będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera.

Na początku macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, gdzie L jest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza jest większy od numeru kolumny, D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny. Można to zapisać następująco:

Następnie obliczymy macierz odwrotną do macierzy D, czyli D^-1. Otrzymamy ją po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy. Po tych operacjach możemy przystąpić już do iteracyjnego obliczania kolejnych przybliżeń rozwiązania według następującego wzoru: 

(indeksy n oznaczają tutaj numer iteracji)