Pierwiastek równania (1) jest odciętą (i rzędną) punktu przecięcia krzywej y=F(x) i prostej y=x . Startując z punktu (x0,f(x0)) i używając iteracji, otrzymujemy x1=F(x0); punkt x1 na osi x dostajemy, rysując linie poziomą z punktu (x0,F(x0))=(x0,x1) do przecięcia z prostą y=x w punkcie (x1,x1). Stąd prowadzimy linię pionową do (x1,F(x1))=(x1,x2) itd. Z powyższego rysunku jest oczywiste, że ciąg {xn} jest zbieżny monotonicznie do a.
Na rysunku poniżej pokazano przypadek, gdy F jest funkcją malejącą
Tym razem zbieżność jest monotoniczna: kolejne przybliżenia xn leżą na przemian po lewej i po prawej stronie pierwiastka a.
Istnieją też jednak pzrypadki rozbieżności, pokazane na przykładach poniżej
Z rysunków tych widać, że wielkością określającą prędkość zbieżności (lub rozbieżności) jest nachylenie krzywej y=F(x) w otoczeniu pierwiastka. Rzeczywiście, z twierdzenia o wartości średniej mamy
gdzie xn leży między xn-1 i xn. Wobec tego zbieżność jest tym szybsza, im mniejsze jest |f '(x)| w otoczeniu pierwiastka. Zbieżność jest pewna, jeśli |f '(x)|<1 dla każdego x z otoczenia pierwiastka, które zawiera x0 i x1. Jeśli jednak |f '(a)|>1, to xn dąży do a tylko w bardzo szczególnych przypadkach, niezależnie od tego, jak blisko a wybierze się do x0 (różne do a).
Przykład
Szybka metoda obliczania pierwiastków kwadratowych.
Równanie x2=c można napisać w postaci x=F(x), gdzie
c>0
Równanie x2=c można napisać w postaci x=F(x), gdzie
c>0
Pierwiastkiem jest a=c1/2, jest też f '(a)=0. Przyjmujemy więc
Dla c=2, x0=1.5 otrzymujemy x1=1/2(1.5+2/1.5)=1.4167, x2=1.414216; porównajmy z tym wartość
Dobrą wartość dla x0 możemy otrzymać za pomocą suwaka logarytmicznego, ale jak możemy sprawdzić - wystarczy znacznie grubsze przybliżenie. Istotnie, dowodzi się, że jeśli xn ma t cyfr dokładnych, to xn+1 ma takich cyfr co najmniej 2t-1. Powyższą metodę iteracyjną obliczania pierwiastków kwadratowych stosuje się powszechnie i w kalkulatorach kieszonkowych, i w komputerach.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz